in the next week， on the next week都可以。
in the next week 在下一周
in the last week 在上一周
注：因为有定冠词the，是指你说话语境时间的上下周。
What will you do in the next week?
下周你将做什么？
is on the next week和is next week含义和用法上的差别，第一个意为在下周，第二个意为是下周。
例句：What is on TV next week in chinese?
下星期在中国的电视上是什么？
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