补充平面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取下侧，补充平面∑2：z＝2(x2+y2≤4)取上侧，
设S+∑1+∑2所围成的立体区域为Ω，∑1在xoy面的投影为D1，∑2在xoy面的投影为D2，则由高斯公式和第二类曲面积分的计算，得
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy? S
=
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy-∫∫ S+∑1+∑2
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy-? ∑1
y(x?z)dydz+x(z?y)dxdy? ∑2
=
(x+y)dxdydz+∫∫∫ Ω
x(1?y)dxdy?∫∫ D1
x(2?y)dxdy∫∫ D2
=
xdxdydz+∫∫∫ Ω
ydxdydz+∫∫∫ Ω
xdxdy?∫∫ D1
xydxdy-∫∫ D1
2xdxdy+∫∫ D2
xydxdy∫∫ D2
对于两个三重积分，由于被积函数x是关于x的奇函数，而积分立体区域Ω是关于yoz面对称的；被积函数y是关于y的奇函数，而积分立体区域Ω是关于xoz面对称的
因而
xdxdydz＝∫∫∫ Ω
ydxdydz=0，∫∫∫ Ω
对于以D1为积分区域的二重积分，由于被积函数x和xy是关于x的奇函数，而积分区域D1是关于y轴对称的
因而
xdxdy＝∫∫ D1
xydxdy=0∫∫ D1
同理，
2xdxdy＝∫∫ D2
xydxdy＝0∫∫ D2
∴原式=0
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