lim(x→0)(x-sinx)⼀(x+sinx)为何不能直接用洛必达 不是无穷比无穷型吗

2025-04-18 17:47:36
推荐回答(2个)
回答1:

0/0型用罗必达有三个条件:
1、分子分母极限为0
2、求导后相比极限存在
3、求导后分母不为零
此题不满足第三条,可用其他方法解答:
对于所有题目都可用泰勒展开求极限,对于此题分子分母各自取最低阶展开即可,
(对于其他题目,可看我在知道的其他回答。)
在0处:sinx=x+1/2x^2+o(x^2)
故:x-sinx=-1/2x^2+o(x^2) x+sinx=2x+1/2x^2+o(x^2)=2x+o(x)

原极限等价于:lim x->0 (1/2x^2+o(x^2))/(2x+o(x)) =1/2x^2/2x=1/4x=0

(注意:o(x^2)表示比x^2高阶的无穷小,o(x)同理)

回答2:

因为分母在x→0时,分母为1,而洛必达法则要求分母必须为无穷大或无穷小时才可化简