已知函数f(x)定义域为R,为对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x>0时,0<f(x)<1

令x1=0 x2=0 带入原式得到 f（0）=f（0）Xf（0）
解得f（0）=0或者f（0）=1
带入令 x＜0 则 -x ＞0
x1=x x2=-x
得到 f（0）= f（-x）f（x）
①当f（0）=0 时 又因为-x＞0 故此时 0＜f（-x）＜1
所以此时f（x）=0 可以得到当x＜0 时 f（x）=0 （个人认为这题题目中应该注有f（0）≠0 你再仔细看看吧 如果没有就按这样写）
②当f（0）=1时 f（-x）f（x）=1 得到f（-x）= 1/ f(x)
因为 0＜f（-x）＜1 故 0＜1/ f(x)＜1
解得此时f（x）的范围是（1，+∞）
综上所述 当f（0）=0时 f（x）=0
当f（0）=1 时 f（x） 的范围是（1，+∞）
还是那句话这道题题目中应该说明f（0）≠0 这样才正常一些。

1首先证明f'(x)=kf(x)
f'(x)=lim{Δx趋向于0}[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim{Δx趋向于0}[f(x)f(Δx)-f(x)]/Δx
=lim{Δx趋向于0}f(x)[f(Δx)-1]/Δx f(x+Δx)=f(x)f(Δx)
=f(x)*lim{Δx趋向于0}[f(Δx)-f(0)]/(Δx-0) 求出f(0)=1
=f(x)*f'(0)=kf(x)
其中 k=f'(0)
然后因为f'(x)=kf(x)
所以df(x)/f(x)=kdx
所以lnf(x)=kx+c1
所以f(x)=ce^(kx)
因为满足f(x+y)=f(x)·f(y)
所以c=1f(x)=e^(kx)
其中k为常数，且k不等于0

由于
且x>0时,0所以0设a=e^k

所以 f(x)=a^x (0
2
由 f(x)=a^x (0所以 f(0)=1
x<0时，f(x)>1