任何一个厄米矩阵都可以被一个幺正矩阵对角化吗

两者的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。

然后，再看此方阵的行列式｜A｜是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。同时，由｜A｜≠0可知矩阵A可逆。

这样可以得出另外一个重要结论：可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果A为奇异矩阵，则AX＝0有无穷解，AX＝b有无穷解或者无解。

如果A为非奇异矩阵，则AX＝0有且只有唯一零解，AX＝b有唯一解。

记Mn是n＊n维的hermite矩阵，设xnn是Mn的一个单位特征向量，λn是对应xn的特征值。

拓展xn，补齐一组x1n、x2n．．．x（n－1）n、xnn，使得Un＝［x1nx2n．．．x（n－1）nxnn］为幺正矩阵。

那么，考虑（Un＋）＊Mn＊Un。记Tn＝（Un＋）＊Mn＊Un，tnij是Tn第i行第j列的元素，我们有Mn＊Un＝Un＊Tn。等式两边的第n列相等。

也就是Mn＊xn＝（Σi）tnin＊xin，即λn＊xn＝（Σi）tnin＊xin。由于x1n、x2n．．．x（n－1）n、xnn是一组基，所以有tnin＝0（i！＝n）或λn（i＝n）。

同时，由于Mn＋＝Mn，所以Tn＋＝Tn，所以tnni＝0（i！＝n）或λn＋（i＝n）。（ps：这里可以得到tnnn＝λn＋＝λn，也就是λn为实数）

于是，可以将Tn记为diag（Mn－1，λn），依次对Mn－1、．．．M2做同样的操作，即可求出U使得（U＋）MnU＝diag（λ1，．．．λn）。

扩展资料

举例：

U是幺正矩阵，F是厄米矩阵，U＝exp（iF）．求证：detU＝exp（itrF）：

证明：

这需要先说明一个重要定理：若A和B相似，则detA＝detB．trA＝trB，所以算符A的的迹及行列式值在任何表象变换中是不变的。

因为det（AB）＝detA＊detB，tr（AB）＝tr（BA），再根据A＝U－1BU代入，可证出该定理．其实用不到tr（AB）＝tr（BA），可不用证这个。

有了此定理.F表象中以|vi>为基矢.由量子力学表象理论可知,厄米算符在自身表象下呈对角矩阵.F|vi>=vi|vi>,U|vi>=exp(iF)=exp(ivi)|vi> ,将exp(iF)用泰勒展开可得后式.vi是指基矢,ivi指虚数i乘以vi。

由定理可知detU为U在F中表象中的行列式．（detU在任何表象中的行列式值不变），那么怎么求detU呢，Uij为U矩阵元，Uij＝＝ivj可看出U是对角矩阵。

所以detU为对角元的积，即为exp（iv1）＊exp（iv2）＊exp（iv3）．．．detU＝exp［i＊（v1＋v2＋v3＋．．．］厄米算符在自身表象下呈对角矩阵，所以trF＝v1＋v2＋v3＋v4＋．．．

exp（itrF）＝exp［i（v1＋v2＋v3＋v4＋．．．）］从两式可看出．detU＝exp（itrF）