设y＝sinα＋cosα＋tanα＋cotα＋secα＋cscα，求y的绝对值的最小值。设sin

解：y=sina+cosa+tana+cota+seca+csca
=sina+cosa+sina/cosa+cosa/sina+1/sina+1/cosa
=(sina+cosa+1)/sinacosa+sina+cosa
令t=sina+cosa
∵t=sina+cosa=√2sin(a+π/4)
∴-√2<=t<=√2
∴t²=1+2sinacosa
∴(t²-1)/2=sinacosa
∴y=2(t+1)/(t²-1)+t=2/(t-1)+(t-1)+1
令p=t-1
则-√2-1<=p<=√2-1且p≠0
y=2/p+p+1
当p>0时，利用不等式性质得：|y|>=|2√(2/pxp)+1|=2√2+1
当且仅当2/p=p时取等号，此时p=√2显然不在[-√2-1,√2-1]内，固等号不成立。

当p<0时据不等式性质2/p+p<=-√2<-1
∴y<0
|y|=|2/p+p+1|>=|2/p|+|p|-1>=2√2-1
当且仅当|2/p|=|p|时，取=号
此时|p|=√2即p=-√2显然在[-√2-1,√2-1]内
∴=号可以成立
此时t=1-√2

综上，当且仅当t=1-√2时|y|取最小值：2√2-1
t的范围为[-√2,√2]

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原式=sinα＋cosα＋1÷(sinαcosα)＋(sinα＋cosα)÷(sinαcosα),
因为1+（sinα＋cosα)^2=2+2sinαcosα
所以令t=sinα+cosα，代入原式化简得：原式=(t-1)+2÷(t-1)+1,t在区间
（-√2-1，-2）U（-2，0）U（0，√2-1）中。讨论易知原式绝对值的最小值为
2√2-1，此时α=arcsin(√2／2-1)-45°