探讨是否存在满足以下两个条件的三角形（1）三边是连续的整数，最大角是最小角的两倍？（2）三边是连续的

2025-04-06 05:24:53

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回答1：

（1）设∠A=2∠B，当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数），
根据正弦定理得

n+1

sinA

n?1

sinB

，
∵∠A=2∠B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴cosB=

n+1

2(n?1)

，
根据余弦定理得，cosB=

a2+c2?b2

2ac

(n+1)2+n2?(n?1)2

2n(n+1)

n+4

2(n+1)

，
∴

n+1

2(n?1)

n+4

2(n+1)

，
解得n=5，
∴n-1=5-1=4，
n+1=5+1=6，
∴存在三边 4、5、6，使最大角是最小角的两倍；
（2）同（1）

n+1

sinA

n?1

sinB

，
∵∠A=3∠B，
∴sinA=sin3B=3sinB-4sin³B，
∴3-4sin²B=

n+1

n?1

，
整理得，4sin²B=3-

n+1

n?1

2?n

n?1

n?2

n?1

，
∴sin²B=-

4(n?1)

∵n是大于1的正整数，
∴-

4(n?1)

＜0，
而sin²B是正数，
∴满足条件的n值不存在，
故不存在三边为连续自然数的三角形，使最大角是最小角的三倍．