一站直销 > 已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）的值．（2）证明：f

已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）的值．（2）证明：f

2025-04-10 00:33:35

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回答1：

（1）∵对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0．
（2）∵f（x）的定义域为R，∴f（x）的定义域关于原点对称．
又令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）是奇函数．
（3）设x₁ ，x₂ ∈R，x₁ ＜x₂ ，则x₂ -x₁ ＞0，
∴f（x₂ -x₁ ）＜0，∴f（x₂ ）+f（-x₁ ）=f（x₂ ）-f（x₁ ）＜0，
∴f（x）是R上的减函数．
∵f（1）=-

，∴ f(-1)=

，
∴f（-2）=2f（-1）=1，
∴不等式f（x² -2ax-1）≤1即是f（x² -2ax-1）≤f（-2），
∴x² -2ax-1≥-2即x² -2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立．
即 a≤

对x∈[2，4]恒成立．
令 g(x)=

，
则 g ′ (x)=

2 x 2

x 2 -1

2 x 2

＞0 在x∈[2，4]上恒成立，
因此g（x）在x∈[2，4]上单调递增，
∴ g(x ) min =g(2)=1+

．
∴ a≤

．