数学模型及其解法

按照描述地下水流变量的性质，地下水流的数学模型可分为两类。一类是随机模型，研究的对象是随机变量，即该变量的取值不是确定性的而是概率。另一类是确定性模型，模型中变量取确定值，确定性模型由上述一个或一组微分方程及其相应的定解条件所构成，本教材仅介绍确定性模型（下文简称数学模型）。

求解数学模型的方法主要有3类：即解析法、数值法（数值模拟法）和物理模拟法。

解析法是应用数学分析方法获得一个用连续函数表达其解的方法（通常以水头H表示）。这个函数式（称解析解）反映了含水层参数、源汇项及边界条件等对水头时空分布的影响，因此，可以直接或通过数学分析方法来揭示各因素与水头H时空分布的内在联系。我们强调解析解是个连续函数，就是说其解可以给出任何空间点和时间点的水头值，因而可以通过数学分析方法给定任意时空点的水力坡度J、渗流速度v和任意断面的流量等运动要素。它的另一个优点是，解析解是精确的。解析法的主要缺点是，能够求解的问题一般比较简单，除个别问题外，一般要求含水层为均质、等厚、边界为直线、圆形或无界等。

数值方法与解析法不同，其解（称数值解）不是一个连续分布的函数，而是按要求事先设计好的时空离散点上的数值解（例如水头值）。这些数值解不能直接给出含水层参数、源汇项、边界等各因素对水头时空分布的函数关系，只能从数值分布特征去寻找规律。另外，数值解本身是一种近似解。然而它最大的优点是，不受水文地质条件的限制，可用于自然界各种复杂的条件。一般地讲，只要地下水运动机理清楚了的问题，都可用数值法求解。数值解方法的运算量往往很大，一般要借助于电子计算机才能实现。

物理模拟方法：由于已知控制地下水运动的基本微分方程是抛物线方程和椭圆方程等，这一数学物理方程在其他物理现象方面也存在，例如电动力学、热动力学等。因此，如果研究对象的几何形状、参数分布与边界条件是相似的，则可以利用一种物理现象来研究另一种物理现象，这是物理模型。借助某种物理模型来研究渗流的方法称为物理模拟方法。

本教材主要介绍求解均匀流体饱和流动的解析方法，而对物理模拟仅从教学目的出发选择几种进行简要介绍。关于地下水的数值方法将在《地下水流动问题数值方法》 （陈崇希等，1990）中进行专门介绍。