（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
?k．1 x
当k≤0时，f′(x)＝
?k＞0，1 x
f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈(0，
)时，有f′(x)＝1 k
?k＞0，1 x
若x∈(
，+∞)时，有f′(x)＝1 k
?k＜0，1 x
则f（x）在（0，
）上是增函数，在（1 k
，+∞）上是减函数．1 k
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值为f（
），要使f（x）≤0恒成立，1 k
则f（
）≤0即可．，即-lnk≤0，得k≥1．1 k
（3）由（2）知，当k=1时，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，
令x=n2，则lnn2＜n2-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），从而
＜lnn n+1
，n?1 2
∴
n i＝2
＜lni i+1
（n∈N+，n＞1）．n(n?1) 4
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