解答：（Ⅰ）证明：AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B，
由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=
，π 3
知∠C1BC=90°，即C1B⊥CB，
又CB∩BA=A，
故C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：由已知AB⊥侧面BB1C1C，
知面ABB1A1⊥面BB1C1C，
过C1作C1P⊥BB1于P，
则C1P⊥面AA1B1B，
因C1P?面C1AP，
故平面C1AP⊥平面AA1B1B，
在直角三角形BB1C1中，
B1P=B1C1cos60°=
；1 2
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知C1P⊥面AA1B1B，
过P作PH⊥AE，交AE所在直线于点H，
则AE⊥平面C1HP，即有AE⊥C1H，
∠C1HP为二面角C1-AE-A1平面角．
由三角形相似求得：PH＝
，又C1P＝
5
5
，
3
2
∴tan∠C1HP＝
＝
C1P PH
/
3
2
＝
5
5
，
15
2
故cos∠C1HP＝
．2
19
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