求导一下即可，答案如图所示
y=x^(1/x)
①
两边同时取对数得：
lny=(lnx)/x
②
对②式两边同时求导得：
(1/y)*y'=(1-lnx)/x²
移项得：y'=y(1-lnx)/x²
③
将①式代入③式有：y'=x^(1/x)(1-lnx)/x²
④
令y'=0，由于x^(1/x)不可能等于0，x²为分母不能等于0
所以有(1-lnx)=0
解得：x=e
所以函数的极值为f(e)=e^(1/e)
y=X^1/X=e^[(lnx)/x],
于是
y'=e^[(lnx)/x]((1-lnx)/x^2)=
X^(1/X)](1-lnx)/x^2（也可两边取对数求导）
令y'=0解得驻点为x=e.
当x
0,
当x>e时,
y'<0.
所以x=e是极大值点，其极大值为e^(1/e).(这也是最大值)
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