解答：证明（1）n=1时，
左边
＝12 (2×1?1)(2×1+1)
＝1 3
=右边，等式成立1×(1+1) 2(2×1+1)
（2）假设n=k时等式成立，
即
+12 1?3
++22 3?5
＝k2 (2k?1)(2k+1)
.k(k+1) 2(2k+1)
则n=k+1时，
左边=
+k(k+1) 2(2k+1)
＝(k+1)2 (2k+1)(2k+3)
(k+k?1 2(2k+1)
)2k+2 2k+3
=
?k+1 2(2k+1)
＝2k2+5k+2 2k+3
?k+1 2(2k+1)
＝(2k+1)(k+2) 2k+3
.(k+1)(k+2) 2(2k+3)
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知，对一切n∈N*，
+12 1?3
++22 3?5
＝n2 (2n?1)(2n+1)
.n(n+1) 2(2n+1)
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