一站直销 > 规定 C mx = x(x-1)…(x-m+1) m! ，其中x∈R，m是正整数，且C X 0 =1．这是组合数C n

规定 C mx = x(x-1)…(x-m+1) m! ，其中x∈R，m是正整数，且C X 0 =1．这是组合数C n

2025-04-07 16:18:47

推荐回答（1个）

回答1：

（1）由题意C_-15 ³ =

-15×(-16)×(-17)

=-C₁₇ ³ =-680 …（4分）
（2）性质①C_n ^m =C_n ^n-m 不能推广，例如x=

时，

有定义，但

-1

无意义；
性质②C_n ^m +C_n ^m-1 =C_n+1 ^m 能推广，它的推广形式为C_x ^m +C_x ^m-1 =C_x+1 ^m ，x∈R，m∈N^*
证明如下：当m=1时，有C_x ¹ +C_x ⁰ =x+1=C_x+1 ¹ ； …（1分）
当m≥2时，有C_x ^m +C_x ^m-1 =

x(x-1)…(x-m+1)

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

+1) =

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

=C_x+1 ^m ，（6分）
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数C_x ^m ∈z成立；
当0≤x＜m 时，

x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)

=0∈Z ，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴C_x ^m =

x(x-1)…(x-m+1)

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

=（-1）^m C_-x+m-1 ^m ∈z（7分）
综上所述当x∈Z，m是正整数时，C_x ^m ∈Z