正项级数的收敛与发散存在严格的分界吗？根据比较判别法我觉得存在、可是老师说不存在、为什么？

首先你的“分界”这个词用的有些不恰当，一个级数要不收敛，要不发散，不存在第三种可能，这样看收敛与发散应该是有分界的，但是你要表达的明显不是这个意思，你应该想问是否存在发散最慢的级数，以至于比它“更慢”的级数都是收敛的，回答是否定的。我们知道调和级数∑1/n是发散的，这个级数已经是发散得很慢了（如果你可以用计算器算一下它的前几项，你可能都想象不出增长如此慢的级数竟然是发散的），基于以上事实和调和级数的特殊形式，可能猜测调和级数是不是发散最慢的级数呢，不是！我们来构造一系列级数∑1/n，∑1/n(lnn)，∑1/n(lnn)(lnlnn)，，，根据正项级数的柯西积分判别法，知这一系列的级数都是发散的，但是由于lim(1/n)/[1/n(lnn)]=limlnn=∞，所以1/n(lnn)是比1/n更高阶的无穷小，也就是说这一系列的级数的发散速度是越来越慢的，因此不存在发散最慢的级数。事实上，正是由于比值审敛法的极限形式中选取的比较级数不存在发散最慢的，因此没有万能的比值审敛法，任何比值审敛法都有失效的时候（就像lima(n+1)/an=q这个审敛法在q=1时级数敛散性不确定）。