那段英文的意思就是说，紧算子把有界集映成列紧集，因为一般都是考虑距离空间甚至是完备的距离空间，在这些空间中，列紧性可以推出完全有界性，而完全有界性又可以推出有界，故紧算子把有界集映成有界集，若考虑一般的线性算子C，则它把单位球映成有界集，而C的范数就是像的范数的上确界。故紧算子是有界的，非线性的我没学。
必须是。紧(compact)的定义就是closed and bounded (闭合有界)。这没什么好证明的，这是定义。
