用向量方法证明角平分线定理

题目应该是证明三条角平分线交于一点。已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线，求证：AD,BE,CF交于一点。

证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)。

向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。

把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。

发展历史：

向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

题目应该是证明三条角平分线交于一点。
已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线.
求证：AD,BE,CF交于一点
证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)
为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.
∵AP平分∠A, BP平分∠B
∴存在λ1,λ2,使得
向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b), 向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)
∵向量AB+向量BP=向量AP
∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)
即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC
由平面向量基本定理,有：
1-λ2/c=λ1/c+λ1/b
λ2/a=λ1/b
消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)
于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
∴向量CP=向量CA+向量AP
=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）
=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC
=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB
=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)
这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c）,使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)
所以AD,BE,CF交于一点。