已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，计算行列式A^3-5A^2+7E

A^3-5A^2+7E的特征值分别为：λ1=1-5+7=3，λ2=8-20+7=-5,λ3=27-45+7=-11。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

计算矩阵（不是行列式！），A^3-5A^2+7E的特征值：

λ1=1-5+7=3，

λ2=8-20+7=-5

λ3=27-45+7=-11

例如：

假设矩阵a的特征值λ对应有特征向量α，即：aα=λα，

则：a2α2=a（aα）α=aλαα=λ（aα）α=λλαα=λ2α2

从而：λ2为a2的特征值

且a3α3=a（a2α2）α=aλ2α2α=λ2（aα）α2=λ3α3

也有：λ3为a3的特征值

于是：（2a3-3a2）的特征值就为2λ3-3λ2

所以，b=2a3-3a2的特征值为：

2?13-3?12=-1

2?（-1）3-3?（-1）2=-5

2?23-3?22=4

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 

参考资料来源：百度百科-行列式

　　有定理为证：若 A 的特征值是 λ，则矩阵多项式 f(A) 的特征值是 f(λ)。这样
　　　　A^3-5A^2+7E
的特征值就是
　　　　λ^3-5λ^2+7，
可以算出来了吗？

计算矩阵（不是行列式！），A^3-5A^2+7E的特征值：
λ1=1-5+7=3，
λ2=8-20+7=-5
λ3=27-45+7=-11

多项式的特征值=A的特征值的多项式。（可用特征值定义证明）