数列的极限 利用极限存在单调有界准则，求极限

证明这类题分三步进行1、证{xn}有界，2证{xn}单调，3、利用limxn=limx(n-1)=A，再求出A
证明：1、用数学归纳法来证
因为x1=√5<(1+√21)/2
假设当n=k时，有xk<(1+√21)/2
则当n=k+1时，有x(k+1)=√(5+xk)<√[5+(1+√21)/2=√(11+√21)/2=√[(1+√21)²/4]=(1+√21)/2
即x(k+1)<(1+√21)/2
由数学归纳法原理知。对任意正整数n都有xn<(1+√21)/2
于是数列{xn}有上界(1+√21)/2
2、还是用数学归纳法来证
因为x1=√5 x2=√(5+x1)=√[5+√5)>√5
即x2>x1
假设当n=k时，有xk>x(k-1)
则当n=k+1时，
x(k+1)-xk=√(5+xk)-√(5+x(k-1)=[xk-x(k-1)]/[√(5+xk)+√(5+x(k-1)]>0(因为由假设有xk>x(k-1)）
即x(k+1)>xk
于是对对任意正整数n都有x(n+1)>xn
所以数列{xn}是单调递增数列，于是数列{xn}有极限
3、因为数列{xn}有极限，所以设limxn=limx(n-1)=A
由xn=√(5+xn)两边取极限得
A=√(5+A)
解得A=(1+√21)/2
即limxn=(1+√21)/2
注意：为什么知道数列{xn}的上界是(1+√21)/2，也是先通过A=√(5+A)假设数列{ xn}有极限的前提下求出来的，但是从理论上来说，是要证数列{xn}先有极限，才能来求，这个在书写的时候要注意。）