数学平面方程t = ax0 + by0 + cz0 +D ⼀ (A^2 + B^2 +C^2)是怎么推导的?

2025-03-30 15:55:31
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回答1:

由平面方程 Ax+By+Cz+D=0可知:该平面的法向矢量为:{A,B,C};
那么过点P(xo,yo,zo)且以{A,B,C}为方向数的直线必垂直于该平面;此垂直线的方程为:
(x-xo)/A=(y-y0)/B=(z-zo)/C=t.............①
把垂直线方程①改写成参数形式:
x=At+xo; y=Bt+y0; z=Ct+zo;..........②
将②代入平面方程得:
A(At+xo)+B(Bt+yo)+C(ct+zo)+D=0
由此解得t=-(Axo+Byo+Czo)/(A²+B²+C²)............③
将③代入参数方程②,即得P在所给平面上的投影P' 的坐标(x',y',z'):
x'=xo-A(Axo+Byo+Czo)/(A²+B²+C²);
y'=yo-B(Axo+Byo+Czo)/(A²+B²+C²);
z'=zo-C(Axo+Byo+Czo)/(A²+B²+C²).