地下水流模型的随机数值模拟

由于地下水流模型的随机特性，决定了求解水流模型的方法必然具有随机性特点。本书充分考虑了已经非常成熟的有限元技术和处理随机问题的相关技术，并将其有机地结合起来，重点分析和讨论了Monte-Carlo随机有限元技术和 Taylor展开随机有限元技术。

5.2.1 Monte-Carlo随机有限元法

Monte-Carlo随机有限元法是Monte-Carlo随机数生成技术与有限元技术相结合的产物。Monte-Carlo技术是研究和解决随机问题的最有效方法之一，Monte-Carlo 随机有限元技术是把Monte-Carlo随机模拟方法与有限单元方法有机结合起来而形成的随机数值模拟计算方法，该计算方法在求解水文地质问题时的基本步骤为：

（1）建立随机水文地质变量的概率模型。

（2）将各随机变量的均值代入有限元方程，求出均值条件下的解。

（3）对特定的概率模型用Monte-Carlo技术生成一组随机水文地质参数。

（4）用步骤（3）产生的水文地质参数代入有限元方程求解地下水流状态变量的分布规律。

（5）对有限N次模拟结果进行统计计算，以获得解的一阶、二阶矩和解在某区间的概率分布。

图5.1所示为Monte-Carlo随机有限元法的基本计算步骤。

5.2.2 Taylor展开随机有限元技术

Taylor展开随机有限元方法是将有限元方程中的控制变量在随机变量的均值点处进行Taylor级数展开（一次或二次），再经过适当的数学处理得出所需要的计算格式。本书从Taylor展开式入手，推导了在进行有限元计算时不同节点水头的均值、方差和协方差的表达式。

5.2.2.1 Taylor级数展开与随机分析

设 x 为随机变量，f（x）为随机变量 x 的函数，-x 为x 均值，则可得 f（x）在-x 处的 Taylor级数展开式为：

地下水系统随机模拟与管理

如果将高于一次的各项忽略，则可得Taylor一次展开式为：

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图5.1 蒙特卡罗随机有限元计算流程图

对（5.2）式取均值得：

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（5.2）式的方差可表示为：

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式中：E——数学期望值算子；

var——方差算子；

。

如果同时考虑Taylor级数的一次和二次项，则可得二次展开式为：

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对（5.5）式取均值得：

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（5.5）式的方差可表示为：

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在前面的讨论中我们知道控制和影响地下水流系统的随机变量并非是单一的，而是由多种随机变量共同作用的。因此，我们需要了解的地下水系统状态变量是多个随机变量的函数。对于 n 个随机变量的函数f（x₁，x₂，…，x_n），设-x_i为x_i的均值，则 f（x₁，x₂，…，x_n）在均值处的一次 Taylor展开式为：

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对（5.8）式取均值得：

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如对f（x₁，x₂，…，x_n）在x_i的均值处进行二次Taylor展开，则可得：

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对（5.10）式取均值得：

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式中：R_ij——随机变量x_i和x_j的相关系数。

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通过推导运算易得f（x₁，x₂，…，x_n）的方差表达式为：

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5.2.2.2 地下水流问题的Taylor展开随机有限元法

对于地下水流问题，其实质是求解随机水文地质参数及定解条件所控制的随机函数的有关特征值问题，以二维承压地下水流为例，设其水文地质参数分区数为N_f，即T，S均有N_f个值。设为 t_n时刻的水头随机变量，（b₁，b₂，…，b_Nb）为边界条件的随机变量，包括一类边界和二类边界。（T₁，T₂，…，T_Nf）为含水层导水系数随机变量，（S₁，S₂，…，S_Nf）为含水层储水系数随机变量，则 t_n+1时刻水头随机变量的一次 Taylor展开式为：

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式中：有上划线的随机量——表示随机量的均值；

（·）_E——表示括号内的函数在均值变量处的值。

为了分析和表达问题的方便，我们将上述诸随机变量 T₁，T₂，…，T_Nf，…S₁，S₂，…，S_Nf，，，b₁，b₂，…，b_Nb用统一的符号记为 x₁，x₂，…，x_N。其中下标 N=2 N_f+N_p+N_b为所有随机变量的总和。即：

（x₁，x₂，…，x_N）=（T₁，T₂，…，T_Nf，S₁，S₂，…，，b₁，b₂，…，b_Nb）。这时式（5.13）可表示为：

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的二次 Taylor展开式为：

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的一次和二次 Taylor展开式的均值和方差分别为：

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的协方差为：

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由此可见，利用 Taylor展开随机有限元法求解地下水流时，为了获得反映地下水流场的各种特征量，主要涉及的计算问题。为此，有必要对这些量的计算问题进行讨论。

（1）的计算。

将影响和控制地下水流的确定性变量，各种随机变量的均值（-x₁，-x₂，…，-x_N）代入有限元方程计算出的解即为各节点水头的均值

（2）的计算。

反映了自变量 x_j的变化对水头的影响敏感性情况，通常称之为灵敏度系数。李竞生研究员等曾对灵敏度系数的求解方法进行过专门的研究和讨论^[55]。常用的灵敏度系数计算方法有影响系数法、灵敏度方程法和变分法。本书仅就影响系数法作简要讨论。

影响系数法是利用扰动原理和差分格式来进行计算的，其向前差分格式为：

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式中的（-x₁，-x₂，…，-x_j，…，-x_N）都可通过求解地下水流有限元方程求得。关键问题是Δx_j的选择。Bard（1974）建议：

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在实际计算过程中可通过对具体变量的性质分析而加以确定。

（3）的计算。

的计算实际上是求取一个函数的二阶导数的问题。因此，可利用最常用的差分格式进行近似计算：

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式（5.22）和式（5.23）中各分项（·）都可通过将相应的变量均值及Δx_j代入有限元方程计算求得。