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已知tanα=1⼀7，sinβ=根号10⼀10，α、β为锐角。求证：α+2β=π⼀4

2025-04-10 01:21:09

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回答1：

已知tanα=1/7，sinβ=√10/10，α、β为锐角。求证：α+2β=π/4。
证明：由题意得sinα=√2/10,cosα=7√2/10,sinβ=√10/10,cosβ=3√10/10,∴sin(α+2β)=sinαcos2β+sin2βcosα=sinα（cosβcosβ-sinβsinβ）+2sinβcosβcosα=√2/10(3√10/10×3√10/10-√10/10×√10/10）+2×√10/10×3√10/10×7√2/10=√2/10(9/10-1/10）+21√2/50=√2/10×4/5+21√2/50=4√2/50+21√2/50=25√2/50=√2/2＞0，cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα(cosβcosβ-sinβsinβ）-2sinαsinβcosβ=7√2/10（9/10-1/10）-√2/5×3/10= 28√2/50-3√2/50=25√2/50=√2/2＞0，∴α+2β=π/4。

已知tanα=1⼀7，sinβ=根号10⼀10，α、β为锐角。 求证：α+2β=π⼀4

已知tanα=1⼀7，sinβ=根号10⼀10，α、β为锐角。求证：α+2β=π⼀4