若a>0,b>0.求证a+b+1⼀根号ab大于等于2根号2

a>0,b>0,a+b>=2(ab)^(1/2),2(ab)^(1/2)代表2乘以根号ab.
a+b+1/(ab)^(1/2)>=2(ab)^(1/2)+1/(ab)^(1/2),设(ab)^(1/2)=x,所以a+b+1/根号ab>2x+1/x.
x>0,而2x+1/x>=2(2)(1/2).a+b+1/(ab)^(1/2)>=2(2)(1/2)。

a+b>=2*sqrt(ab)(基本不等式)
2*sqrt(ab)+1/sqrt(ab)>=2*sqrt(2)(基本不等式)
等号成立，当且仅当a=b,2*sqrt(ab)=1/sqrt(ab),即a=b=sqrt(2)/2

(√a-√b)^2≥0 a+b≥2√ab a>0,b>0 √ab≥2/(a+b) (a+b+1)/√ab ≥2(a+b+1)/(a+b)
a+b=tgx ,(a+b+1)/(a+b)=(tgx+1)/tgx=(sinx+cosx)/sinx=√2sin(x+π/4)/sinx ≥√2 , (a+b+1)/√ab ≥2√2

a+b+1/根号ab >=2根号ab +1/根号ab >=2根号2
参考公式：a+b>=2根号ab