一、三角
·平方关系：
sin^2α＋cos^2α＝1
1＋tan^2α＝sec^2α
1＋cot^2α＝csc^2α
·积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)
余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA
角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边
斜边与邻边夹角a
sin=y/r
无论y>x或y≤x
无论a多大多小可以任意大小
正弦的最大值为1 最小值为-1
三角恒等式
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
向量计算
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a（交换率）；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
高一数学期末复习——函数
班级_________姓名_________ 学号________
一 基础知识
1.函数的概念：设A,B是_________，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有__________的数 和它对应，那么就称 : A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 , ∈A. 其中， 叫做_______， 的取值范围A叫做函数的_______；与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合{ | ∈A}叫做函数的________.
2.函数的单调性
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值 ,当 时，都有________那么就说 在这个区间上是增函数.
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值 ,当 时，都有______那么就说 在这个区间上是减函数.
3.(1)函数 的图象和它的反函数 的图象关于直线_______对称.
(2)点（a,b）在 的图象上，则点_____在 的图象上.
(3)设 的定义域为A,值域为C，则 ____( ),
____( ).
4.常见函数的图象及其特征
函 数 图 象 特 征
a>0 过点(0,b),图象呈上升趋势
5.函数图象的平移、对称与翻折变换
（1）平移变换(m>0)
（2）对称变换
（3）翻折变换
ⅰ. 的图象是保留 的图象中位于x轴及其上方（ ）的部分；将 的图象中位于x轴下方（ ）的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到 .
ⅱ. 的图象是保留 的图象中位于y轴及其右侧（ ）的部分；去掉位于y轴左侧（ ）的部分，再将y轴右侧（ ）的部分以y轴为对称轴翻折到左侧去得到.
注意： 本身的图象关于 轴对称.
二 基础训练
1.函数f (x) = + 1,则f(2)=_____,f(f(2) )= .
2.函数 f (x) = - 1的定义域为{-1，0，1，2}，则值域为_________.
3.函数y = 的定义域为
_________,值域为_________.
4.若函数f (x+1) = + 1, 则f(2)=____, f(x)= .
5.函数y = - + 2x + a的递减区间为__________.
6.函数f (x) =3x + 2, 则f (2)= ____,f(f (2))=___.
7.函数 的反函数是 ( )
A.
B.
C.
D.
三 例题选讲
1.求下列函数的定义域、值域
(1) (2)
(3)
(4)
2. 求下列函数的解析式
(1)已知 ，求 .
(2)已知二次函数 满足
求 .
3.作出下列函数的图象.
(1) (2)
(3)
4.已知
(1)求 的解析式
(2)指出 的单调性，并证明.
四 巩固练习
（一）选择题
1.下列各项中两个函数表示同一个函数的是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知
，则F(x)的最值是 ( )
A.最大值是3，最小值是－1
B. 最大值是 ，无最小值
C. 最大值是3，无最小值
D. 无最大值，无最小值
3若函数 在R上是减函数，那么 单调增区间是 ( )
A.(－∞,1] B.[－1,＋∞)
C.(－∞,－1) D.[1,＋∞]
4.已知 定义在同一区间上， 是增函数， 是减函数，且 ，则( )
A. 是减函数
B. 是增函数
C. 是减函数
D. 是增函数
5.已知定义域为R的函数 在区间（－∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有 ＝
，那么下列式子成立的是 ( )
A.
B.
C.
D.
(二)填空题
6.已知函数 在
[1，＋∞]上是增函数,则a的取值范围是________.
7.已知函数 在
[1，＋∞]上是增函数,则a的取值范围是__________.
8.二次函数 在区间( ,1)是增函数，则 的取值范围是________.
9.如果点（1，2）既在函数 的图象上，又在函数 的反函数 的图象上，那么a=_______,b=_______.
10.函数 的增区间是____.
（三）解答题
11.已知函数 在区间[0，1]上的最大值为1，求实数a的值.
12. 某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量(单位：件)的函数，满足关系式：
(1)将总利润L(单位：元)表示为Q的函数
(2)求每生产多少件产品时，总利润最大？此时，总利润是多少？
13.已知 是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y都有：
且 求使不等式 ≤2成立的x的取值范围.
14. (1)已知函数 的定义域是R,求实数m的取值范围.
(2)已知函数 （a>0且a≠1）的值域是R,求实数m的取值范围.
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