最近三年全国数学联赛一试试题

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2009年联赛试题模式修改
　　背景
　　1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。全国高中数学联合竞赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营“(每年元月)。 优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名（部分省最多可增至10人，西部地区各省不少于3人）可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。
　　时间:
　　自2009年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：
　　一试
　　考试时间为当日上午8：00~9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分100分。其中填空题8道，每题7分；解答题3道，分别为14分、15分、15分。
　　（旧规则为时间100分钟，选择题6分/题×6道，填空题9分/题×6道，解答题20分/道×3道，共计150分。）
　　二试
　　考试时间为当日上午9：40~12：10，共150分钟。试题为四道解答题，每题50分，满分200分。包括平面几何，代数，数论，组合数学各一道。
　　（旧规则为时间120分钟，试题为3道解答题，每题50分，其中必有一道平面几何，另两道题从其余三项中任意出两道。）
　　考试范围:
　　一试
　　全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
　　二试
　　1、平面几何
　　基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
　　补充要求：面积和面积方法。
　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
　　几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
　　几何不等式。
　　简单的等周问题。了解下述定理：
　　在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
　　在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
　　在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
　　在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
　　几何中的运动：反射、平移、旋转。
　　复数方法、向量方法。
　　平面凸集、凸包及应用。
　　2、代数
　　在一试大纲的基础上另外要求的内容：
　　周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
　　三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
　　第二数学归纳法。
　　递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
　　函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。
　　n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
　　复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
　　圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
　　一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
　　简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
　　3、立体几何
　　多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
　　正多面体，欧拉定理。
　　体积证法。
　　截面，会作截面、表面展开图。
　　4、平面解析几何
　　直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
　　二元一次不等式表示的区域。
　　三角形的面积公式。
　　圆锥曲线的切线和法线。
　　圆的幂和根轴。
　　5、其它
　　抽屉原理。
　　容斥原理。
　　极端原理。
　　集合的划分。
　　覆盖。
　　梅涅劳斯定理
　　托勒密定理
　　西姆松线的存在性及性质。
　　赛瓦定理及其逆定理。
　　1981年，中国数学会开始举办“全国高中数学联赛”，经过1981、1982、1983三年的实践，这一群众性的数学竞赛活动得到了广大中学师生欢迎，也得到教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层人士的肯定和支持。同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。1984年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，当时有14个省、市、自治区参加。 当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。
　　“全国初中数学联赛”原来不分一试、二试。1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定。
中国数学奥林匹克竞赛简介

中国数学奥林匹克（全国中学生数学冬令营）

“中国数学奥林匹克（全国中学生数学冬令营）”一般于每年元月举行。成绩最好的近 30名选手组成参加当年IMO的中国国家集训队。3月中旬至4月初，进行参加IMO的中国代表队的选拔工作。每年7月份参加IMO。全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。1985年，由北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后又改名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad,简称CMO）。冬令营邀请各省、市、自治区在全国高中数学联赛中的优胜者参加，人数100多人，分配原则是每省市区至少一人，然后设立分数线择优选取。冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。

CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。题目难度接近IMO，颁奖也与IMO类似，设立一、二。三等奖，分数最高的前20至30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。

从 1990年开始，冬令营设立了陈省身杯团体赛。从1991年起，全国中学生数学冬令营被正式命名为中国数学奥林匹克，它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛

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