第5，7，8题。第5题负1的次方怎么来的？第7，8题完全不会。。。高等数学

解：5题，设x=π-t，则x→π时，t→0。∴sin(mx)=sin(mπ-mt)=[-(-1)^m]sin(mt)，同理，sin(nx)=[(-1)^n]sin(nt)，利用基本极限公式“lim(x→0)sinx/x=1”,
∴lim(x→π)sin(mx)/sin(nx)=[(-1)^(m-n)]lim(t→0)sin(mt)/sin(nt)=[(-1)^(m-n)]m/n。
7题，∵x→0时，sinx=x-(1/3!)x^3+O(x^3)，∴f(x)=sinx-ax/(1+bx^2)=x-(1/3!)x^3-ax/(1+bx^2)+O(x^3)=[(x-x^3/6)(1+bx^2)-ax]/(1+bx^2)+O(x^3)=[(1-a)x-(b-1/6)x^3]/(1+bx^2)+O(x^3)。
∴a=1、b=1/6时，f(x)是比三阶无穷小更高阶无穷小。
8题，∵当x≠1时，1+x+……+x^(m-1)=(1-x^m)/(1-x)，∴1-m/[1+x+……+x^(m-1)]=1-m(1-x)/(1-x^m)=[1-x^m-m(1-x)]/(1-x^m)，
∴按照等价无穷小的定义，有lim(x→1){1-[1+x+……+x^(m-1)]}/(x-1)=lim(x→1)[1/(x-1)-m/(x^m-1)]=1。
又，lim(x→1){1-[1+x+……+x^(m-1)]}/(x-1)=lim(x→1)[x^m-1-m(x-1)]/[(x^m-1)(x-1)]，属“0/0”型，用洛必达法则，∴其极限=lim(x→1)(m-1)/[(m+1)x-(m-1)]=(m-1)/2=1，∴m=3。
供参考。