y=xsin2x,求y的50阶导数

对于函数乘积y=f(x)*g(x)的n阶导数有展开公式：

y(n)=c(n,0)f(x)g(x)(n)+c(n,1)f(x)(1)g(x)(n-1)+c(n,2)f(x)(2)g(x)(n-2)+........c(n,n)f(x)(n)g(x)。

其中:

y(n)表示y的阶导数，c(n,0)是排列组合，f(x)(n)表示f(x)的n阶导数，g(x)(n)表示g(x)的n阶导数。

对于本题：

f(x)=x^2,g(x)=sin2x

f(x)(1)=2x,f(x)(2)=2,f(x)(3)=0

所以：

y(50)=c(50,0)*x^2*(sin2x)(50)+c(50,1)*(2x)*(sin2x)(49)+c(50,2)*2*(sin2x)(48).

=x^2(sin2x)(50)+100x*(sin2x)(49)+2450(sin2x)(48)。

2^50[-x²sin2x+50xcos2x+(1225/2)sin2x]

扩展资料

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

这个用莱布尼茨公式
y(n)=C(n,0)u(0)v(n)+C(n,1)u(1)v(n-1)+...+C(n,n)u(n)v(0)
(n)表示n阶导数
这里u=x,v=sin2x
注意到u只有一阶导数，因此，最后余两项
故
y(50)=C(50,0)x*(sin2x)(50)+C(50,1)x(1)*(sin2x)(49)
=-2^50*x*sin2x+50*2^49*cos2x

运用高阶导数的莱布尼茨公式：
y(50) = C(0,50)u(0)v(50)+C(1,50)u(1)v(49)+....+C(50,50)u(50)v(0)
C(0,50)=1
C(1,50)=50
u(0)=x
u(1)=(x)'=1
v(50)=(sin2x)的50阶导数= 2^50sin(2x+(50π/2))=2^50sin(2x+25π)=2^50sin2x
v(49)=(sin2x)的49阶导数= 2^49sin(2x+(49π/2))=2^49sin(2x+24.5π)=2^49cos2x
因为x的2阶及以上的导数均为零
故原函数的50阶导数为
y(50)=u(0)v(50)+50u(1)v(49)=(2^50)xsin2x + (2^50)25cos2x