韦达定理公式是什么

设一元二次方程

中，两根x₁、x₂有如下关系：

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

扩展资料

韦达定理主要应用于求解一元二次方程的两个根的相关问题，这个定理的出现为解决类似问题节约了时间。

韦达定理（），简单来说，就是可以通过一元二次方程的相关系数直接求解根，而上述公式中，a为二次方前面的系数，b为一次方前面的系数，c为常数项，这是比较直接、比较实用的一个方法。

尤其对于那些已知两个根，需要推导出方程的题，更能够看出韦达定理的优势。韦达定理在更高次方程中也是可以使用的，在求解的过程中会涉及到求和公式。

参考资料来源：百度百科-韦达定理

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
英文名称：Vieta's formulas

　　韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

　　这里讲一元二次方程两根之间的关系。

　　一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中，设两个根为x1，x2 则

　　X1+X2= -b/a

　　X1*X2=c/a

　　用韦达定理判断方程的根

　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，

　　若b^2-4ac<0 则方程没有实数根

　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

　　若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
韦达定理推广
它的根记作X1,X2…，Xn

　　我们有右图等式组

　　其中∑是求和，Π是求积。

　　如果一元二次方程
　　在复数集中的根是，那么

　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

　　(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|

　　法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

　　（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数）
　　可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

　　1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a

　　所以X1﹢X2=-b/a

　　2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

　　所以X1X2=c/a

　　（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2

　　（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a

　　又因为X1.X2的值可以互换，所以则有

　　X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】

　　所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a

　　韦达定理推广的证明
　　设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

　　通过系数对比可得：

　　A（n-1）=-An(∑xi)

　　A（n-2）=An(∑xixi)

　　…

　　A0=[(-1) ]×An×ΠXi

　　所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

　　∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

　　…

　　ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

　　其中∑是求和，Π是求积。

　　一元五次方程验证:
　　已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1

　　根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。

　　把上式展开成：

　　-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*