求由曲面z=x^2＋2y^2及z=6－2x^2－y^2所围成的立体的体积

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两曲面的交线在xy坐标面上的投影曲线是x^2+y^2＝2,所以整个立体在xy面上的投影区域是D：x^2＋y^2≤2
体积V＝∫∫(D)
[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
用极坐标
＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2)
(2－ρ^2)ρdρ＝6π

两曲面的交线在xy坐标面上的投影曲线是x^2+y^2＝2，所以整个立体在xy面上的投影区域是d：x^2＋y^2≤2
体积v＝∫∫(d)
[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
用极坐标
＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2)
(2－ρ^2)ρdρ＝6π

解：∵解方程组z=x²+2y²与z=6-2x²-y²，得x²+y²=2
∴所求立体在xoy面上投影区域为D={(x，y)lx²+y²≤2}
故 所求立体体积=∫∫[(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dxdy
=∫∫[6-3(x²+y²)]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6-3r²)rdr (应用极坐标变换)
=2π∫<0,√2>(6r²-3r³)dr
=2π(2r³-3r^4/4)│<0,√2>
=2π(4√2-3)