哪位给证一下欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx的证明里面用到的e^x、sinx、cosx的展开式

前三个式子是（带有佩亚诺余项的）的麦克劳林公式。
详见数学分析，华东师范大学版，上册。p136
如果想知道更详细的，请百度（带有佩亚诺余项的）的麦克劳林公式的概念。由于限制，打不出它的式子。我觉得高中不需要知道它的证明，知道怎么用就好了
注意：而欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx是求把三角函数和指数函数沟通起来的一个桥梁。麦克劳林公式是求函数的极限以及在近似计算上的应用。两者的关系不太联系。
有什么问题再提出来

用欧拉公式展开为cosπ+isinπ+1=0恒成立是能从复变角度说明cosπ=-1

三个式子是泰勒级数展开，大学微积分或者高数才学，这三个式子都是很基本的，理工科学生大学必背的，你想了解可以百度（泰勒级数），资料以及推导肯定很全。
欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx只是一个定义，没有推导，你可以认为f（ix）=cosx+isinx；而这个f（ix）很巧妙，和我们已知的e^x性质很像，（比如f（ix）*e^x=f（ix+x））因而写作e^(ix），但实际上并不是传统的e^x，只是一种写法。e^(iπ)+1=0是这个定义式的x=pi的情况，具体参见“复变函数”，也是大学课程

补充一下：
定义复平面内的函数f（z）=e^x(cosy+isiny)，它拥有类似e^x的某些性质，例如f'(z)=f(z)。将f（z）记为expz,即expz=e^x(cosy+isiny)，为了方便，常用e^z代替expz，写作e^z=e^x(cosy+isiny)，这里的e^z没有幂的意义，只有符号的意义，另z=ix和i*pi就是你的那两个式子（补充内容源自西安交通大学出版的《复变函数》）