我是法学专业的学生，如果这是一道司法考试的题目的话，解题思路应该是：
甲在执行公司指派时发生事故，首先应当由公司承担事故赔偿责任，然后在由公司追究司机甲的个人责任。也就是说甲是必然要承担赔偿责任的，甲虽然对事故没故意，但是有过失（一急不小心）。
这样看楼主所述的事实不过是把理论的情况，进行的顺序的颠倒，所以我认为甲是没有办法报销的士修车费用的。
但是甲也有自己的救济方式，可以向交警部门提出行政复议或者行政诉讼，这是针对交警的处罚不服的；也可以提出司法救济，也就是提起诉讼，这是对公司的做法不服的。
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