平谷区2011～2012学年度第二学期初三第一次统一练习
数学试卷参考答案及评分参考 2012.6
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D B C A D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10 11 12
答案 x≤3 8；（每空2分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：
= ……………………………………………………………………….4分
=……………………………………………………………………………………………5分
14．解：
…………………………………………………………………….1 分
………………………………………………………………. 2分
….. …………………………………………………………………3分
….. …………………………………………………………………4分
∴， ………………………………………………………5分
15．解：原式….. ……………………………………………………………1分
….. …………………………………………………………………2分
….. …………………………………………………………3分
….. …………………………………………………………………4分
当时，原式…………………………………5分
16．证明：∵ BE⊥CE，AD⊥ED，
∴ ∠E=∠D=90°. ….. …………………1分
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCE+∠ACD=90°.
∵ ∠B+∠BCE=90°，
∴ ∠B=∠ACD. . ……………………………2分
在和中，
∴ △BCE≌△CAD．…………………………………………………………………………4分
∴ AD=CE . …………………………………………………………………………………5分
17．解：(1) 因为和的
图象都经过点A（）.所以 .
所以 . ........................................2分
(2) 依题意（如图所示），可知，点P在∠AOx的平分线上.
作PB⊥x轴，由A（）可求得∠AOB=60°，
所以 ∠POB=30°.
设，可得 .
所以 直线的解析式为 .....................................................................................3分
把代入，解得.
所以 .（点的坐标也可由双曲线的对称性得到）.....................5分
18．解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时．………………1分
根据题意，得 ……………………….………………………….2分
解这个方程，得 ….. ………………………………………………………3分
经检验，x = 40是原方程的根………………………………………………………4分
∴
答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．………………………….5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.解：连结AC
在Rt△ADC中，
∵ ∠D=90°，AD=4，CD=，
∴ AC==8，…….……………………………1分
. …..……………………………2分
∴ ∠DAC=60°. ……………………………………………………………………………3分
∵ ∠BAD=150°，
∴ ∠BAC=90°.
∴ BC=. …………………………………………………………4分
∴ 四边形ABCD的周长 ……………………………………………………….5分
20．（1）证明：连结AE.
∵ BG垂直平分CF，
∴ CB=CG，
∴ ∠1=∠2.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠E=90°. .........................................................................1分
∴ ∠3+∠4=90°.
∵ ∠3=∠1=∠2，
∴ ∠2+∠4=90°.
∵ =，
∴ ∠ABE=∠4.
∴ ∠2+∠ABE=90°.
∴ BC是⊙O的切线...........................................................................................................2分
（2）∵ BC是⊙O的切线，
∴ ∠ABC=90°.
由勾股定理，可得 AC=10..............................................................................................3分
∵ CG=CB=6，
∴ AG=4.
可证 △AEG∽△BEA,
∴ .....................................................................................................4分
设AE=x，BE=2x.
由勾股定理，可得 .解得 .
∴ ............................................................................................................5分
21．解：（1）组人数所占的百分比：， 1分
组人数在扇形图中所占的圆心角的度数：； 2分
（2）样本人数：15（人）， 3分
组人数=（人）； 4分
（3）考试成绩的中位数落在组..............................................................................................5分
22．
正确画出图形2分
图（1）；.................................................................................................3分
图（2）；...........................................................................................4分
图（3）.
比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. ............................................5分
五、解答题 （本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）证明：令，则．
因为， 1分
所以此抛物线与轴有两个不同的交点． 2分
（2）因为关于的方程的根为，
由为整数，当为完全平方数时，此抛物线与轴才有可能交于整数点．
设（其中为整数）， 3分
所以 ．
因为 与的奇偶性相同，
所以 或
解得 ．
经检验，当时，关于的方程有整数根． 所以 ...................................5分
（3） 当时，此二次函数解析式为
，则顶点的坐标为（）．
抛物线与轴的交点为、．
设抛物线的对称轴与轴交于，则．
在直角三角形中，由勾股定理，得，
由抛物线的对称性可得，．
又 ， 即 ．
所以 △为等腰直角三角形．且．
所以 为所求的点． 6分
若满足条件的点在轴上时，设坐标为．
过作轴于，连结、．则．
由勾股定理，有；．
即 ． 解得 ．
所以 为所求的点． 7分
综上所述满足条件的点的坐标为（）或（）．
24．证明：（1）成立．
∵ 四边形、四边形是正方形，
∴ …………………………1分
∠∠.
∴ ∠90°－∠∠.
∴ △≌△.………....................………2分
∴ .………………………………………3分
（2）①由（1）可知△≌△，
∴ ∠1＝∠2 .
∵ ∠3＝∠4，∠4＋∠2＝90°，
∴ ∠3＋∠1＝90°
∴ ∠＝.
∴ ……………………………………5分
② 过作于M .
∵ BD是正方形的对角线，
∴ .
∴ ∠DGM＝45°.
∵ DG=，
∴ . …………...................................................................6分
在Rt△AMG中 ，由勾股定理，得
∴ CE=AG= ……………………………………………………………7分
25．解：（1）∵抛物线过点A(－2，0)和B(4，0)
∴ 解得
∴ 抛物线的解析式为…………1分
（2）抛物线的对称轴为
令x=0，得y=4，∴
设T点的坐标为，对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E
在Rt△ATD中，
∵TD=h，AD=3
∴………………………………………………………………2分
在Rt△CET中，
∵E
∴ET=，CE=1
∴
∵AT=CT
∴，………………………3分
解得.
∴. ...............….………………………………………………………………………4分
（3）当时，AM=BQ=t，
∴AQ=
∵PQ⊥AQ
∴△APM∽△ACO
∴
∴PM=2t
∴………………6分
当时，AM=t
∴BM=.由OC=OB=4，可证BM=PM=.
∵BQ=
∴AQ=
∴．……………………………..8分
综上所述，
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