行列式的值不等于零，等价于什么结论

2025-04-19 04:08:51

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回答1：

|A|≠0
<=> A可逆 (又非奇异)
<=> 存在同阶方阵B满足 AB = E (或 BA=E)
<=> R(A)=n
<=> A的列(行)向量组线性无关
<=> AX=0 仅有零解
<=> AX=b 有唯一解
<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
<=> A可表示成初等矩阵的乘积
<=> A的等价标准形是单位矩阵
<=> A的行最简形是单位矩阵
<=> A的特征值都不等于0.
<=> A^TA是正定矩阵.

回答2：

行列式的值不等于零，等价于:
对应的矩阵是非奇异的；
对应的矩阵是可逆的；
对应的矩阵是满秩的；
对应的矩阵的所有的行(或列)向量是线性无关的；
.............................
等等结论。

回答3：

任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示 <=> A的特征值都不等于0. <=> A可表示成初等矩阵的乘积 <=> A的等价标准形是单位矩阵