数学史 里有这么一段话，希望对你有启发：“ 尺规作图里面还有一个经典的问题，作正n边形。比如正三角形，正四边形，正五边形，正六边形，正八边形，这些都是很容易就能做出来的，但是很长时间内人们找不到作正七变形和正九边形的方法。这一领域的下一个进展是1796年，高斯给出了正十七边形的作法。1801年，高斯证明了如果k是费马素数，那么就可以用直尺和圆规作出正十七边形。事实上可进一步推广为如下结论：正n边形可作当且仅当n=(2^e)p_1p_2...p_r，e为非负整数，p_k为费马素数1≤k≤r。可以做如下简单的思考：要作正n边形，实际上就是要作n次本原单位根ω，使得ω^n-1=0。又[Q(ω):Q]=φ(n)，根据前面的讨论知φ(n)必为2^t的形式。若n=(2^e)(p_1)^a_1(p_2)^a_2...(p_r)^a_r，则φ(n)=(2^(e-1))(p_1-1)(p_1)^(a_1-1)(p_2-1)(p_2)^(a_2-1)...(p_r-1)(p_r)^(a_r-1)，要使其为为2^t的形式必有p_k为费马素数且a_k=1，1≤k≤r。
所谓费马素数是指形为F_n=2^(2^n) 1形式的素数。当初费马猜想所有这种形状的数都是素数，他验证了前五个3，5，17，257，65537，这些都是素数。”
所以楼主，从费马素数推导出来：7是素数，但不是费马素数，故正7边形用尺规作图是作不出来的。希望这段历史对你有帮助！！！
近似的正七边形:
(1) 以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径LN、HP.
(2) 过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与L连结起来，然后过NT上的各点推出LT的平行线，把LN七等分.
(3)以L为圆心，LN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向LN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是 1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、L.再分别以 AB、BC、CL为边长，在圆周上从A点（或L点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，
无法做出，7是素数，但不是费马素数
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