一站直销 > 在证明一些函数或数列的极限时，都会限制ε＜1，但是定义中说是”对于任意给定的正数ε”，这样做没问题吗

在证明一些函数或数列的极限时，都会限制ε＜1，但是定义中说是”对于任意给定的正数ε”，这样做没问题吗

2025-04-05 18:08:32

推荐回答（3个）

回答1：

没有限制吧，ε是任意小的正数，|f(x)-A|<ε 如果对于小的ε都没问题，那对大的ε肯定更没问题了。

回答2：

一般的像这种限制都是为了证明数列和函数的有界性的，都是不妨令其小于1的，既然小于1满足，自然〉1的也满足喽。

回答3：

拿数列极限来讲
lim Xn=a: 对于任意的ε>0, 存在正整数N，当n>N时，有|Xn-a|<ε
定义指的是对于给定的任意一个正数ε，都能找到数列项的一个限制N，当数列从第N+1项开始，有Xn落在a的ε邻域中
那么对于ε而言，如果取ε1<ε2,则可知U(a,ε1)包含于U(a,ε2)，其中U(a,ε1)表示a的ε1邻域。
所以对于小的ε1而言，如果能找到N了，那么从数列的第N+1项开始Xn全都落在U(a,ε1)，自然也就落在了U(a,ε2)，因此此时的N也就适用于大的ε2
所以在证明的时候，能说明0 <εN时，有|Xn-a|<ε, 那么对于ε≥c的部分也就自然而然都成立了。
希望对你有帮助，不懂还可以追问！