A、短腿的安康羊是从正常羊中产生的，短腿的安康羊的后代也是短腿的羊，是遗传物质变化引起的变异，可以遗传给后代，是遗传的变异；A正确；
B、同种小麦生长在肥沃土地里长得健壮，在贫瘠的土壤里长得瘦弱，是环境条件变化引起的变异，遗传物质没有发生变化，不能遗传给后代，是不遗传的变异．B错误；
C、孪生弟兄，生活在城市的哥哥皮肤较白，生活在农村的弟弟皮肤较黑，是环境条件变化引起的变异，遗传物质没有发生变化，不能遗传给后代，是不遗传的变异．C错误；
故选：A
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