由于 (A-E)(A-2E)(A-3E)=0
所以 A 的特征值只能是 1,2,3
(1)若1,2,3都是A的特征值,
则3阶矩阵A有3个不同的特征值, 故A可对角化
(2)若1,2,3中两个是A的特征值,另一个不是 --这个情况是关键
不妨设 1,2是A的特征值,3不是A的特征值
则 |A-3E|≠0, 故A-3E可逆
所以有 (A-E)(A-2E)=0
所以 r(A-E)+r(A-2E)<=3
又因为 3=r(E)=r[(A-E)-(A-2E)]<=r(A-E)+r(A-2E)
所以 r(A-E)+r(A-2E)=3
所以 3-r(A-E) + 3-r(A-2E) = 3
故A有3个线性无关的特征向量
所以A可对角化.
(3)若1,2,3中只有一个是A的特征值,其余两个都不是
比如1是, 2,3不是
同上可知 A-2E,A-3E 可逆
得 A-E=0
A=E 是对角矩阵.
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