二重积分I=∫∫(1+xy)⼀(1+x^2+y^2)dxdy

I = ∫∫ (1 + xy)/(1 + x² + y²) dxdy，D = { (x，y) | x² + y² ≤ 1，x ≥ 0 }

{ x = rcosθ，{ y = rsinθ

- π/2 ≤ θ ≤ π/2，注意这界限，∵x ≥ 0，所以θ只能在第三、第四象限变化

I = ∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→1) (1 + r²sinθcosθ)/(1 + r²) • rdr

= ∫(- π/2→π/2) dθ • ∫(0→1) [r/(1 + r²) + r³/(1 + r²) • sinθcosθ] dr

= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(r² + 1) + sinθcosθ • [r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)] |(0→1) dθ

= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • sinθcosθ dθ

= (1/2)ln(2) • (π/2 + π/2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • 0

= (1/2)ln(2) • π

= (π/2)ln(2)

楼上的象限根本是错的

要是角度限制在[0，π]内，那是y ≥ 0而不是x ≥ 0，画个图就知道了

要x ≥ 0，x的值当然要在y轴右边了，即第三、第四象限才是的

对于y ≥ 0，y = √(1 - x²)，θ∈[0，π]

对于x ≥ 0，x = √(1 - y²)，θ∈[- π/2，π]

对于y ≤ 0，y = - √(1 - x²)，θ∈[3π/2，2π]

对于x ≤ 0，x = - √(1 - y²)，θ∈[π，3π/2]

[r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]

这步只是求∫ r³/(1 + r²) dr，你会做的吧