怎么判断矩阵具有相同的正负惯性指数

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.首先合同是等价关系.可以传递.每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵,因为正交矩阵的特点,那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵.下证,对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.先证明,对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵.设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零）,那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵,那么P^TAP也是个对角矩阵,对角线上除了第i个元素其他和A相同,且第i个元素为正负一,且与a同号.依次这么做,A对角线上所有元素可化为正负一以及0.再证明,对角线上只有正负一以及0的对角矩阵,只要正负一的个数相同就合同.设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A,那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A,恰使得A的对角线上第i和j个元素对调,其他不变,故命题成立.结合这两点,易得对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.那么现在,两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.这个结论也是显然的了.

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。
首先合同是等价关系。可以传递。
每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵，因为正交矩阵的特点，那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵。
下证，对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。
先证明，对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵。
设对角矩阵对角线a上第i个元素为a（不为零），那么设p为用（a的绝对值）^0.5乘e的第i行得到的初等矩阵，那么p^tap也是个对角矩阵，对角线上除了第i个元素其他和a相同，且第i个元素为正负一，且与a同号。依次这么做，a对角线上所有元素可化为正负一以及0。
再证明，对角线上只有正负一以及0的对角矩阵，只要正负一的个数相同就合同。设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为a，那么用对调ij行的初等矩阵左右乘a，恰使得a的对角线上第i和j个元素对调，其他不变，故命题成立。
结合这两点，易得对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。
那么现在，
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。
这个结论也是显然的了。

首先你要知道矩阵相似具有传递性，然后利用反证法：假设这两个矩阵相似，而其中一个可相似对角化，那么根据传递性，另一个矩阵必然相似于同一个对角矩阵，即必然可对角化，与条件矛盾，故不相似。问题2：相似对角化是求出与矩阵 相似的对角矩阵的过程，相似对角矩阵的特殊之处在于如果A相似于对角矩阵，那么对角矩阵的对角元就是A的所有特征值。问题3：相似是矩阵之间关系的一种：矩阵之间的关系有等价,合同，相似等，而相似是这些关系中最“紧密”的，两个相似矩阵具有相同的秩，正负惯性指数（实对称阵），特征值，而相似矩阵中最有有的是相似对角化，因为对角矩阵在运算中是非常好处理的，所以相似对角化后常常能令计算简化。