解答如图：
∫∫ f(x,y)dxdy=1
所以∫(0,∞)∫(0,∞) k*e^-(3x+4y) dxdy
=k*∫(0,∞) dx ∫(0,∞)e^-(3x+4y)dy
=k*∫(0,∞) dx (-1/4)*e^(-3x-4y) (0,∞)
=k/4*∫(0,∞) e^(-3x) dx
=k/4*(-1/3)*e^(-3x) (0,∞)
=k/12
所以k=12。
E(XY)解法
E(XY)=∫∫ xy*f(x,y)dxdy
=12∫(0,∞) x*e^(-3x) dx ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy
这里 ∫(0,∞) x*e^(-3x) dx
=(-1/3)∫(0,∞) x*d(e^(-3x) )
=(-1/3)*x*e^(-3x) (0,∞)+1/3*∫(0,∞) e^(-3x) dx
=1/3*(-1/3)*e^(-3x) (0,∞) =1/9
同样 ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy=1/16
所以E(XY) =12∫(0,∞) x*e^(-3x) dx ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy=12*1/9*1/16=1/12。
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