一站直销 > 数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列{bn}中，b

数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列{bn}中，b

2025-04-04 20:29:18

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回答1：

（ I）∵a_n+1=2S_n+1（n≥1），∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=1，a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁，∴an+1＝3an(n∈N*)．
∵a₁=1，∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an＝3n?1(n∈N*)．
（ II）∵bn＝an?log3an＝(n?1)?3n?1，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=0?3⁰+1?3¹+…+（n-1）?3^n-1
∴3Sn＝0?31+1?32+…+(n?2)?3n?1+(n?1)?3n，
∴?2Sn＝31+32+…+3n?1?(n?1)?3n，
∴?2Sn＝

3×(1?3n?1)

1?3

?(n?1)?3n＝(

?n)?3n?

，
∴Sn＝(

)?3n+

．