合同肯定是可以补签的而且是应当补签的，签订合同与劳动保障没有任何关系，是单位与劳动者的权力和义务。4月份的是在一个缴费年度内，应该不存在不能补缴的问题，跨缴费年度的可能会有时间问题。
好奇怪的问题啊，国家不是说只要是有提供劳务就存在劳务关系必需得购买社保吗？为什么你们那的社保局这么奇怪啊，如果这个情况不解决那以后员工告你们没买社保是谁的责任啊？我不了解青岛当地法规，但是还是建议你和社保局说一实际情况，看一下有没有明文规定。合同谈不上补签，因该是签了没及时备案，这种情况大都是写个检查，以后在犯就好了。
可向劳动保障的上级机关申诉。
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