幂级数解微分方程

2025-04-05 16:12:14
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回答1:

设y=a0+a1x+a2x²+a3x³+.....
则y'=a1+2a2x+3a3x²+....
xy'=a1x+2a2x²+3a3x³+....
y+y'-xy'=(a0+a1)+2a2x+(3a3-a2)x²+(4a4-2a3)x³+......=x²
对比系数得:
a0+a1=0,得a1=-a0
2a2=0, 得a2=0
3a3-a2=1, 得a3=1/3
4a4-2a3=0,得a4=1/6
5a5-3a4=0, 得a5=1/10
6a6-4a5=0, 得a6=1/15
....
nan-(n-2)a(n-1)=0, 得an=2/[n(n-1)]
所以通解y=a0-a0x+1/3x³+1/6x^4+....+2/[n(n-1)]*x^n+....