高数多元函数微分学 "求椭球面x^2 + 2y^2 + z^2 = 1上平行于平面x - y + 2z = 0的切平面方程"

2025-04-18 06:32:44

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回答1：

记 F=x^2+2y^2+z^2-1, F'=2x, F'=4y, F'=2z，设切点 (a, b, c), 则切平面的法向量是 { a, 2b, c}，故得 a/1=2b/(-1)=c/2= t, a=t, b=-t/2, c=2t。

由 a^2+2b^2+c^2=1 得 (11/2)t^2=1, 解得 t=±√(2/11)，对于 t=√(2/11)，a=√(2/11)， 2b=-√(2/11)，c=2√(2/11)，切平面方程是 x-y+2z= √(11/2)。

含义

沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 y=x2趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y)，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

高数 多元函数微分学 "求椭球面x^2 + 2y^2 + z^2 = 1上平行于平面x - y + 2z = 0的切平面方程"